피타고라스의 평균률은, 3/2 의 간격으로 모든 음을 구해낼 수 있다는 가정으로 출발하였지만, 가정 자체가 모순을 가지고 있었고, (간격이 완벽하지 않았다.)
순정률은, 모든 배음을 완벽하게 얻어내는 조율법이고 , 그것으로 얻은 스케일 자체가 완벽했지만, 우리가 알고있는 반음 간격이 일정하지 않았다. 그래서 조 옮김을 할 수 없었기 때문에, 음악가들은 더 많은 표현을 하기 위해서 조를 옮길 수 있는 새로운 조율법을 찾게 되었다.
일반적으로 배음이 울릴때에
1f 기음에 배음이 2f 3f 4f 5f 6f 이렇게 완벽하게 울리는 현상이 나타나게 되는데 그렇지 않고
1f, 2.03f, 2.98f 4.07f 5.3f 6.08f 등 배음이 약간씩 오차가 있더라도 사람들은 그 각각의 음으로 인식하지 않고, 원래의 기음으로 음정을 인식하게 된다.
그래서, 순정률 조율이 가장 완벽하게 정확한 조율일지라도, 약간씩 그 조율을 조정해도, 사람들은 화음을 받아들일 수 있다.
그런데 순정률로 조율을 하게 되면, 반음간격이 일정하지 않기 때문에, 원래의 온음계 톤들은 그대로 놔두고, 반음간격을 일정하계 나오도록 살짝 수정하여 음계를 쓰기도 했는데, 그것을 중간 음계 라고 한다. 하지만 중간음계를 쓰더라도, 조 옮김에 문제가 있어서,
한 옥타브 안의 모든 간격을 동일한 배수로 맞춰서 조율하기 시작했다
이것이 평균률이다.
기준기음주파수를 예를 들면, 440hz(A) 로 놓으면, 한옥타브 위는 880hz 이다.
440 곱하기 “X” = A#
A# 곱하기 “X” = B
B 곱하기 “X” = C
C 곱하기 “X” = C#
C# 곱하기 “X”= D
D 곱하기 “X” = D#
…………….
G 곱하기 “X” = G#
G# 곱하기 “X” = A(한옥타브 높은)
가 되는 X 를 모두 같은 값을 쓰자는것이다.
그러면 440 곱하기 X * X *X …..* X(12회) 를 하면 880이 나온다.라는거다.
그래서 그 X 의 값을 구하면 대략
이렇게 된다.
이값을 100cent 라고 하면, 한옥타브는 1200cent 가 된다.
따라서 440hz 를 기준으로 이 r 값을 곱하면, 반음 높은음(A#) r 값을 나누면, 반음 낮은음(G#)
이렇게 각각의 반음 간격이 동일하다.
평균률은 A=440 을 기준으로 잡아서 C 의 값을 평균률로 구하면 261.63hz 이고
순정률도 비교 해보기 위해 그 261.62hz 로 순정률 음계를 구해보았다.
| 음정 | 평 | 균 | 률 | 순 | 정 | 률 |
| C | 2^(0/12):1 | 261.63hz | 0cent | 1:1 | 261.63hz | 0 cent |
| D | 2^(2/12):1 | 293.66hz | 200cent | 9:8 | 294.33hz | 203.91cent |
| E | 2^(4/12):1 | 329.63hz | 400cent | 5:4 | 327.03hz | 386.31cent |
| F | 2^(5/12):1 | 349.23hz | 500cent | 4:3 | 348.84hz | 498.04cent |
| G | 2^(7/12):1 | 392.99hz | 700cent | 3:2 | 392.44hz | 701.96cent |
| A | 2^(9/12):1 | 440hz | 900cent | 5:3 | 436.05hz | 884.36cent |
| B | 2^(11/12):1 | 493.88hz | 1100cent | 15:8 | 490.55hz | 1088.27cent |
| C | 2^(12/12):1 | 523.25hz | 1200cent | 2:1 | 523.25hz | 1200cent |
2^(0/12)=1, 2^(12/12)=2
이렇게 구한 평균률 음계는, 옥타브가 올라가거나 내려가거나 항상 옥타브 사이에 12개의 음이 2roor12 (2 ^ (1/12) ) 라는 값으로 동일하기 때문에, 반음간격이 동일하다.
따라서 조 옮김이 가능하고, 조 옮김이 가능하다는 점 때문에 새로운 많은 음악기법이 가능하게 되었다.
Mode 의 사용이 가능하게 되었고, Modal interchange 가 가능해졌다.
또한, 세컨더리 도미넌트 등이 가능하게 되었고, 도미넌트 화성들이 비약의 발전을 이룰 수 있었다. 그래도 이 음계로 이루어진 하모니는 순정률 처럼 완벽한 하모니는 아니다. 약간의 안어울림이 있지만, 인간의 뇌의 인지를 속일수 있는 정도는 되었던 것이다.
또한 하나의 큰 특징으로는 피아노와 같이 현의 진동에 배음이 많은 악기에서는 , 각 조성별로 Key 의 높낮이만이 틀린것이 아니고, 순정률과 평균률이 동시에 존재 함으로 인해서, 느낌까지 틀려지는 결과가 나타나게 된다.
예를들면, C 건반(현)을 울렸을때 C건반 (현)의 울림 상에서 나타나는 배음구조는 “순정률”
그 C 건반의 하모니를 이루는 C , E, G 를 동시에 울리면 그 화음의 울림은 “평균률”
나머지, E와 G 건반의 배음구조들도 “순정률” 이기 때문에, 미묘한 Cent 의 차이들이 발생하여, C키로 작곡된곡을 , G 키로 “이조” 하거나 하면, 음의 높낮이만 높아지고 낮아지는것이 아니고, 이 미묘한 Cent의 차이의 구조가 바뀌기 때문에, 각 조별로 각기 다른 느낌 을 자아내게 된다.
음악을 공부하는 학생들은 이것에 대한 연구를 하여 음정에 관한 논문의 주제로 많이 사용되고 있으므로, 한번쯤 계산기를 두드려 그 미묘한 Cent 의 차이를 계산하여 논문을 써보는것도 좋다고 본다.